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與經濟學談情•二

Utility Function 功能函數

文：曾國平

　　卻說聖彼德堡悖論荒誕而有趣，到底與經濟學有什麼關係呢？先說說Bernoulli怎樣解決這個問題吧。他提出人們並非想要最大的期望值，而是想要最大的預期功用(expected utility)。他假設人的功用可以以下算式表示：

U = log(X) 

　　X即期望值。所以要計算聖彼德堡悖論，我們要計出：

(1/2)xlog(2) + (1/2)x(1/2)xlog(2x2) + (1/2)x(1/2)x(1/2)xlog(2x2x2)...=2log(2)

　　答案並非無限。讀者可能對以上計算一頭霧水，不過不打緊，這不是重點。我提出這個悖論，是想跟大家介紹功用(utility)這個觀念，繼而再談預期功用(expected utility)這個更深奧的術語。上面那條等式U=log(X)是一條功能函數(utility function)。比如說，你得到的期望值是10元，你的功用便是log(10)=1，又或者你的期望值是100元，你的功用便是log(100)=2了。

　　換句話說，你從100元期望值得到的功用比10元期望值的大。這樣，我們就有一個比較(compare)的準則，我們假設人們依從功用函數作出選擇(choice)，亦即我們有可能推出可被推翻(refutable)的假說(hypothesis)。例如我們的理論說選擇A的功用比選擇B高，而人們面對這兩項選擇時(假設兩者的成本一樣)，我們的假說就是人們會選擇A。這個推測可對可錯。這就是(我認為)經濟學的本質了。